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Résolution de systèmes par combinaisons linéaires

Pour résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on peut procéder par étapes en exploitant la règle suivante :

On ne change pas les solutions du système en remplaçant une ligne par une combinaison linéaire des deux lignes du système (sauf cas particuliers : voir plus bas).

Par exemple, le système suivant est composé de deux lignes L₁ et L₂ :

$$\{\begin{array}{cc}y+x=3& \left(L_1\right)\\ -y+x=5& \left(L_2\right)\end{array}$$

Dans une première étape, on peut remplacer L₂ par la combinaison linéaire L₂+L₁, en complétant l'instruction suivante L₂ <—— L₁+L₂.

On obtient ainsi le nouveau système, équivalent au premier :

$$\{\begin{array}{c}y+x=3\\ 2x=8\end{array}$$

On entre ensuite L₂ <—— L₂/2 et on obtient :

$$\{\begin{array}{c}y+x=3\\ x=4\end{array}$$

Puis avec la soustraction L₁ <—— L₁-L₂ :

$$\{\begin{array}{c}y=-1\\ x=4\end{array}$$

Le système est ainsi résolu !

Combinaisons linéaires non valides

Certaines combinaisons linéaires particulières modifient les solutions du système et doivent donc être proscrites.

Par exemple il ne faut pas entrer L₂ <—— L₁ car cela supprimerait la seconde équation.

Plus généralement, il faut aussi veiller à ce que les combinaisons proposées ne rendent pas les deux équations proportionnelles. Ce serait par exemple le cas avec les transformations suivantes :

L₁ <—— L₁+ L₂
L₂ <—— 2L₁+ 2L₂

Le logiciel refuse ces combinaisons linéaires non valides.

Les combinaisons non linéaires comme L₁ <—— L₁* L₂ sont aussi rejetées.